有效的数学课堂，始终离不开教师对数学内容本身的把握与理解。但考虑到数学教师自身的知识视野与数学素养也在不断的提升与发展过程中，因而，不同阶段中，数学教师对知识点的理解和认识也不尽相同。下面，笔者想结合“长方体”这一数学概念，谈谈自身在认知过程中的四个不同阶段。

早期教学“长方体的认识”这一内容时，我着力为学生建构“点点成线，线线成面，面面成体” 的空间观念。并且在最初的教学中，我对此目标无任何异议。几年之后，随着对数学研究的逐步深入，我越来越感觉到，这样的目标设定似乎显得不太切合实际。众所周知，作为一种平面图形，长方形是没有高度的。而无数个没有高度的面叠加，无论如何也产生不了体。以此类推，没有长度的点也不能构成线，没有宽度的线也无法构成面。鉴于这样的认识局限，本人在教学中自然就显得唯唯诺诺。咨询了身边的一些同仁，他们也认为从数学的角度分析，这样理解是对的，只是这样教学好象不太恰当，但又无法解释问题产生的根源。

随着教龄的增长与经验的丰富，自我感觉对这一问题的认识逐渐清晰。于是，尝试着从两个方面来理解这一问题。

首先，数学概念教学应借助学生已有的经验。即长方体概念的教学不能脱离学生实际而一味追求概念的严谨。数学教师应该借助学生在生活中已经积累起的有关长方体的已有经验、相关的“数学现实”，通过与教材内容发生交互作用，将生活中长方体的有关数学现象进行类比、分析、归纳，加以总结与升华，逐渐建构起较为规范、系统的长方体概念。其次，作为教育者，我们的眼睛不能仅盯着数学知识本身的科学性，更要关注学生的认知规律和心理特征，将数学学科的科学性和学生的数学学习规律结合起来。如果仅仅一味强调“数学教学的形式化”，学生势必对这一内容的学习感到无所适从。

近年来，随着对这一知识点研究的进一步深入，自觉对此又有了些新的认识与感悟，提出来再与同仁分享。

首先，数学语言的直接借用。由于数学中的不少词语（如“稳定性”）都是由日常语言中直接借用过来的，因此，如果对这一过程缺乏清楚认识的话，就很容易造成意义的混淆，包括日常意义对于数学学习的干扰。就如我们所讲的“长方体”这一概念，其本质既不是指生活中的长方体实物，也不是教师在黑板上所画的那个具体的长方体，而是一个更为一般、更加抽象的数学概念。确切地说，这就涉及数学抽象的一个基本性质：模式化过程。因而，即使我们是由生活中的相关对象或现象直接引出相应的数学概念，仍然有一个重新定义（建构）的过程。

其次，“生活数学”与“学校数学”之间存在着本质的区别。“生活数学”是学生在日常生活中自然积淀、自由生成的“纯经验”型的数学信息。它具有个体性、随意性和直接性等特征。“学校数学”则是学生在学校环境中通过有目的、有计划的数学学习所获得的数学信息。它具有社会性、计划性、抽象性和形式化等特征。如果说“生活数学”明显地表现出了情境相关性进而产生应用的局限性，那么，普遍性就是“学校数学”的一个主要特征，而这也就直接决定了“学校数学”有着更为广泛的应用。另外，我们生活中获得的各种经历、体验，未必就恰好能为抽象的数学概念和知识提供适切的基础。不仅如此，它还可能包括许多干扰因素，像生活中感觉到的“线有宽度”、“面有厚度”这些经验都会对学生学习“学校数学”产生负面干扰。

再次，要让“生活数学”服务于“学校数学”。 数学教学必须回归数学本质，把“生活数学”提升到“学校数学”，从具体的生活情景中抽象概括出一般的数学知识；从现实的生活问题中归纳建立适用的数学模型；从普通的生活现象中发展学生的数学思考。只有合理选择学生的生活经验，服务于数学学习，才有助于我们给纯粹的数学“穿”上合适的生活外衣，然后将它呈现给儿童，而不是将数学“外科式”地加以改造，以简单地迎合生活。前面提到的长方体概念，就是过度注重了数学与生活经验的联系，在追寻“生活化”的过程中，流失了数学的内涵。数学毕竟是“思维的自由创造物”，学校数学不应演变为生活数学，更不可能退化为街道数学，但可以根据学生不同的发展水平和不同的教学内容加以适度的现实化。

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