[原创]含绝对值的函数的图像
luyued 发布于 2011-02-07 07:26 浏览 N 次含绝对值的函数的图像
———给朱正怡同学答疑
大罕
含绝对值的函数,如去掉绝对值符号,则是分段函数。
化为分段函数,是作这类函数图像的“保底”的方法。
含绝对值的函数,其绝对值符号出现的方式无非以下三种情况
⑴整“绝”(函数式右边整个加绝对值):y=|f(x)| ,例如y=|x-1|;
⑵x“绝”(函数式右边纯x处均加绝对值):y=f(|x|),例如y=|x|-1;
⑶乱“绝”(函数式右边杂乱无章地加绝对值):例如y=x2-2|x+1| -1
乱“绝”函数的图像,一般需要先化为分段函数,再画图。
整“绝”函数的图像,一般用翻折法画图,方法是“上留下翻”:
先画y=f(x)图像,将x轴上方部分留着,将在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上边去,即得 y=|f(x)|图像。
x“绝”函数的图像,一般用翻折法画图,方法是“右留翻左”:
先画y=f(x)图像,将y轴右方部分留着,并将它以y轴为对称轴翻折到y轴右边去,即得 y=f(|x|)图像。
两个或多个整“绝”的一次函数的和,有乱“绝”之嫌,当然可以先化为分段函数再画图之,但是,由于其图像是三段直线型(一条线段和二条射线)图像组成,可以用折点(拐点)作图法:
先逐个找出每个绝对值的零点(局部零点),再以此为横坐标算出相应的纵坐标,得到若干个折点,并将诸折点连接成线段,然后在最左边和最右边的折点的两边,利用函数式得到各得到一个辅助点,并连成射线。于是函数的图像大功告成。
例1 作函数y=| x-1|+|x+2|图像。
解:图像如图1,作法从略。
利用函数图像,可以简捷地解决一些问题,如解不等式,求取值范围,证明恒成立。
例2 解不等式:| x-1|+|x+2|≤4
解:在同一直角坐标系下,分别作出
y=| x-1|+|x+2|和y=4的图像如图2;再解方程
| x-1|+|x+2|=4得,x1=-3/2,x2=5/2,
由图可知,-3/2≤x≤5/2为所求。
思考题:解不等式:| x-1|-|x+2|>3(提示:方法与例2一样。)
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